ねことくまとへび

　たかしおのさんのブログで「円周率が3.05より大きいことを証明せよ」という予備校の電車広告について触れられていて、思わず唸ってしまいました。

　http://d.hatena.ne.jp/drk2718/20070306#p1

　なるほど、円周で考えれば良かったんですね。私が電車の中で解いていた時は面積を使おうとしていたので、正十二角形では3より大きいことしか証明できず、正二十四角形に登場してもらわなければなりませんでした。二十四角形ってあんた。

□ 証明のようなもの*1

　半径r、中心角15°である扇形の面積をSとし、AB=AC=r、∠A=15°である二等辺三角形△ABCの面積をS'とすると、それぞれの値は以下のように表すことができる。

　

　

　三角関数の加法定理により、

　

　ここで、

　

　

　であることは各辺を2乗すれば明らかであるから、

　

　よって、

　

　S>S'であるから*2、

　

　よって、

　

　

　3.096>3.05であるから、円周率πが3.05より大きいことが示せた。（証明終わり）